什么是线性插值？什么是二次插值？

1.线性插值就是根据2个测量值(或者数值表)，计算在这2个测量值之间的函数值的近似值。
比如知道Ln0.5=-0.693147, Ln0.6=-0.510826，那么就可以根据这2个数值预估Ln0.54的近似值。
因为两点确定一条直线，所以也叫线性插值。
线性插值的计算方法是：根据2点坐标，把直线方程解出，然后把X=0.54代入方程求出Y坐标，即是Y=Lnx的近似值
所以Ln0.54的近似值=Ln0.5+0.4*(Ln0.6-Ln0.5)=-0.620219
2.二次插值是构造一个二次多项式函数来逼近原函数，这就需要三个数值点。
依次类推，三次插值就是构造一个三次多项式，需要4个点。
顺便普及：二次插值也叫抛物插值，线性插值也可以理解为一次插值，线性函数其实就是一次多项式。
比如知道了Ln0.4,Ln0.5,Ln0.6,Ln0.7的数值，怎么求Ln0.54的近似值呢？
二次插值只需要3个点，目前有4个点，那么应该选择哪3个点呢？这是有讲究的。
因为0.54出在0.5和0.6之间，所以这2个点是肯定入选的，那另外应该是选0.4还是0.7呢？
答案是：就近原则，选0.4.那么就近原则的理论依据是什么呢？

我们知道根据二次插值求出的Ln0.54的近似值和真实的Ln0.54存在一定的误差。这个误差是多少呢？
根据截断误差的计算公式
Rn= [F'(e)/(n+1)！] *(x-x0)(x-x1).....(x-xn)
可见，当F'(e)和(n+1)!都固定的时候，当点x和x0,x1....xn的距离最近的时候，误差才会最小。

那么选定了3个点0.4,0.5,0.6之后，如何计算二次插值Ln0.54的近似值呢？
二次插值顾名思义就是要构造一个二次多项式函数来逼近原函数Ln。先介绍几种常用的插值方法。
1：P(x)=a0+a1x+a2x^2  （这个叫单项式插值）把三个坐标值代入求解系数a0,a1,a2，从而求得P(x)。
2：P(x)=y0*(x-x1)(x-x2)/(x0-x1)(x0-x2)+y1*(x-x0)(x-x2)/(x1-x0)(x1-x2)+y2*(x-x0)(x-x1)/(x2-x0)(x2-x1)
(这个叫拉格朗日插值)，把3个值代入求得系数y0,y1,y2从而求得P(x)。
3：P(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1) (这个叫牛顿插值)，同样把三个坐标值代入求解系数a0,a1,a2，从而求得P(x)。
其中红色部分为基函数。
目前运用最多的是牛顿插值，因为牛顿插值公式，便于递归，方便程序设计。
注意：根据本例，根据3个点0.4,0.5,0.6的值，求得的P(x)的表达式是同样的。



小结论：二次插值的误差比线性插值要小。也很好理解，线性插值构造的是直线，二次插值构造的是抛物曲线，Ln本身就是一个曲线，也就是说二次插值更逼近Ln。