浅议傅里叶变换的三种形式

我们知道傅里叶变换有三种形式。
最原始的就是三角函数的形式。
就是说一个周期函数只要满足狄氏条件，都可以写成三角函数级数的形式

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最开始傅里叶就是推导除了这个公式，傅里叶的其他2个形式，比如复指数形式和积分形式，都是在这个三角函数级数上的推导。

下面再看看傅里叶变换的复指数形式

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为什么要引入复指数形式？为了计算方便，计算方便，计算方便，重要事情说三遍。
其中复指数形式的傅里叶级数可以根据欧拉公式从三角函数公式推导出来。
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比如你要计算门函数的傅里叶变换，用复指数的形式，就很容易求出，但是用三角函数级数的公式就麻烦。
还有一种形式，就是傅里叶变换的积分形式。

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大家可以看出，把一个原本自变量为时间t的一个函数变换成了一个自变量为角频率w的函数。是不是很神奇？
时间域=>频域的转变
当f(t)为周期函数的时候，可以用三角级数来变换，但是如果不是周期函数，就只能用积分公式来变换，这个时候F(w)为频谱密度。

有的同学会问为什么要把一个函数做傅里叶变换？不变换不行吗？比如把一个看似简单的门函数变成了很多Sa函数的叠加。为什么要这么变换？给个理由先。
回答这个问题就要先说说向量的正交。比如在三维空间，有3个正交向量x1(1,0,0)和x2(0,1,0)和x3(0,0,1)，那么这三个正交向量构成了一个完备正交基，在这个三维空间中，任何其他向量都可以用这3个向量来线性表示。比如向量y(2,3,5)=2x1+3x2+5x3.
再举个计算机系统中颜色的例子.rgb三色就是颜色系统的三个正交向量，所有的颜色都可以用这3个向量来表示。
再回到正交函数的概念。1，cos，sin 正好是正交函数集。